已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A（3,0）,且与圆O相切,（1）求直线l1的方程.（2）设圆O与x轴交于P

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 16:26:48

已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A（3,0）,且与圆O相切,（1）求直线l1的方程.（2）设圆O与x轴交于P、Q两点,M是圆O上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P’,直线QM交直线l2于点Q’,求证：P’和Q’的纵坐标之积为定值.

（1）∵直线l1过点A（3,0）,且与圆C：x2+y2=1相切,
设直线l1的方程为y=k（x-3）,即kx-y-3k=0,
则圆心O（0,0）到直线l1的距离为d==1,解得k=±,
∴直线l1的方程为y=±（x-3）．
（2）对于圆C：x2+y2=1,令y=0,则x=±1,即P（-1,0）,Q（1,0）,
又直线l2过点A且与x轴垂直,
∴直线l2的方程为x=3,
设M（s,t）,则直线PM的方程为y=（x+1）,
解方程组,得P′（3,）,同理可得Q′（3,）,
∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0,
又s2+t2=1,
∴整理得（x2+y2-6x+1）+y=0,
若圆C′经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得：x=3±2,
∴圆C′总经过定点,定点坐标为（3±2,0）．