搜搜考试网江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/02 18:33:20
江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题
k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.
(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；
(2) 当a,b互质时,求k的值；
(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值.
一、二、三楼的同志，但别给错的答案！
[（2）k=176400 (3)k=4410000 ]我知道正确的结果，但不知是如何来的！
k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.
(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；
(2) 当a,b互质时,求k的值；
(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值.
一、二、三楼的同志，但别给错的答案！
[（2）k=176400 (3)k=4410000 ]我知道正确的结果，但不知是如何来的！
解 (1)若a^2与a^2-b^2不互质,设a^2=tv,a^2-b^2=tu,
两式相减得:b^2=t(v-u)
则易知a,b均有约数t,与题意矛盾
故命题得证
(2)由“k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.”
知:k/(a^2)=m ① k/(b^2)=m+116 ② k,a,b为整数,
a>b.
则k=(a^2)m=(b^2)(m+116)
变形:(a^2-b^2)m=116b^2,由(1)中结论(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质,则a^2-b^2必是116的约数.
又a^2-b^2=(a-b)(a+b),a+b,a-b同奇同偶,又116=4*29
则有(a-b)(a+b)=2*58
或(a-b)(a+b)=1*29
或(a-b)(a+b)=2*2
又a,b互质,分别检验得a=15,b=14符合题意.
①-②即得k=116(ab)^2/(a^2-b^2),将a,b代入得:
k=176400
(3)由题意可设a=5p,b=5q,(p,q互质),仿照(1)中的方法,易证(p^2-q^2)与p^2和q^2都互质.将a=5p,b=5q代入①②得:
k= 25(p^2)m=25(q^2)(m+116)
变形:(p^2-q^2)m=116q^2,多么熟悉!同(2)理亦得:
p=15,q=14,则a=75,b=70
代入k=116(ab)^2/(a^2-b^2)得:
k=4410000,
恰恰与你的答案相同,
两式相减得:b^2=t(v-u)
则易知a,b均有约数t,与题意矛盾
故命题得证
(2)由“k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.”
知:k/(a^2)=m ① k/(b^2)=m+116 ② k,a,b为整数,
a>b.
则k=(a^2)m=(b^2)(m+116)
变形:(a^2-b^2)m=116b^2,由(1)中结论(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质,则a^2-b^2必是116的约数.
又a^2-b^2=(a-b)(a+b),a+b,a-b同奇同偶,又116=4*29
则有(a-b)(a+b)=2*58
或(a-b)(a+b)=1*29
或(a-b)(a+b)=2*2
又a,b互质,分别检验得a=15,b=14符合题意.
①-②即得k=116(ab)^2/(a^2-b^2),将a,b代入得:
k=176400
(3)由题意可设a=5p,b=5q,(p,q互质),仿照(1)中的方法,易证(p^2-q^2)与p^2和q^2都互质.将a=5p,b=5q代入①②得:
k= 25(p^2)m=25(q^2)(m+116)
变形:(p^2-q^2)m=116q^2,多么熟悉!同(2)理亦得:
p=15,q=14,则a=75,b=70
代入k=116(ab)^2/(a^2-b^2)得:
k=4410000,
恰恰与你的答案相同,