已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 23:19:48
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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(Ⅰ)当n=1时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)(1分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:
an
an−1=a(n≥2)(4分)
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
a
1−a(1−an)∈[a,
a
1−a)
因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
a
1−a≤1解得0<a≤
1
2(11分)
综上得实数a的范围是(0,
1
2].(12分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:
an
an−1=a(n≥2)(4分)
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
a
1−a(1−an)∈[a,
a
1−a)
因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
a
1−a≤1解得0<a≤
1
2(11分)
综上得实数a的范围是(0,
1
2].(12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*)
数列{an}的前n项和为Sn,已知A1=a,An+1=Sn+3^n(三的n次方),n∈N*
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且
高中数学 已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) ①求证{an}是等比数
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=23an+1(n∈N*);
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
已知数列{an}的首项是a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+3n+1(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)/3 (n∈N)
已知数列{An}的前n项的和为Sn,A1=1,且3A(n+1)+2Sn=3(n为正整数)(A(n+1)指的是An的前一项
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
设数列an的前n项和为sn,已知a1=a,a不等于3,a(n+1)=sn+3^n