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已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 23:19:48
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)当n=1时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)(1分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:
an
an−1=a(n≥2)(4分)
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
a
1−a(1−an)∈[a,
a
1−a)
因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
a
1−a≤1解得0<a≤
1
2(11分)
综上得实数a的范围是(0,
1
2].(12分)