哪位高手帮忙证明一下线性代数里一条定理,n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 13:40:51
哪位高手帮忙证明一下线性代数里一条定理,n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
就是主要是证明它的充分性,最好是能证完整.附带问一个,n阶矩阵有多少个特征值?(重根也算)我觉得有n个,但不大有把握.
谢谢!
就是主要是证明它的充分性,最好是能证完整.附带问一个,n阶矩阵有多少个特征值?(重根也算)我觉得有n个,但不大有把握.
谢谢!
![哪位高手帮忙证明一下线性代数里一条定理,n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.](/uploads/image/z/862475-59-5.jpg?t=%E5%93%AA%E4%BD%8D%E9%AB%98%E6%89%8B%E5%B8%AE%E5%BF%99%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%80%E4%B8%8B%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%87%8C%E4%B8%80%E6%9D%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%2Cn%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5A%E5%8F%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9A%84%E5%85%85%E5%88%86%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AFA%E6%9C%89n%E4%B8%AA%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F.)
[证明] 充分性:已知A具有n个线性无关的特征向量X1,X2,……,则AXi=入iXi i=1,2,……,n
A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]
=[X1 X2 ……Xn]*
X1,X2,Xn线性无关,故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵,令V=*,则有AP=PV
V=AP/P
必要性:已知存在可逆方阵P,使
AP/P=V=*
将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量
[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]
可见,入i为A的特征值,Pi为A的特征向量,
所以,A具有n个线性无关的特征向量.
注:因为上面的过程是我自己手工打上去的,好多符号百度都打不出来,将就能看懂就好,其中*表示的是一个n阶对角矩阵,对角线上的矢量分别为入1,入2……入n
n阶矩阵在复数范围内,一定有n个特征值(重特征值按重数计算个数),从这个意义上说,矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的.n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了.
但是有一个重要的结论需要知道:n阶实对称矩阵一定有n个实特征值(重特征值按重数计算个数).
A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]
=[X1 X2 ……Xn]*
X1,X2,Xn线性无关,故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵,令V=*,则有AP=PV
V=AP/P
必要性:已知存在可逆方阵P,使
AP/P=V=*
将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量
[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]
可见,入i为A的特征值,Pi为A的特征向量,
所以,A具有n个线性无关的特征向量.
注:因为上面的过程是我自己手工打上去的,好多符号百度都打不出来,将就能看懂就好,其中*表示的是一个n阶对角矩阵,对角线上的矢量分别为入1,入2……入n
n阶矩阵在复数范围内,一定有n个特征值(重特征值按重数计算个数),从这个意义上说,矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的.n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了.
但是有一个重要的结论需要知道:n阶实对称矩阵一定有n个实特征值(重特征值按重数计算个数).
哪位高手帮忙证明一下线性代数里一条定理,n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
在证明是否可以矩阵对角化过程中,利用定理n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量
线代一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化
n阶可对角化矩阵的线性无关特征向量的个数一定是n么
n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量,但同一特征值所对应的特征向量就是无穷个,
设A是n阶方阵,α1,α2...αn是n个线性无关的n维向量,证明rankA=n的充分必要条件是Aα1,Aα2,.,Aα
证明:若n阶方阵A有n个对应于特征值a且线性无关的特征向量,则A=aI
[线性代数]有n个线性无关的特征向量的n阶矩阵,是否一定可以相似对角化
n阶矩阵A能不能有n 1个线性无关的特征向量?
证明若n阶方阵A有n个对应特征值λ且线性无关的特征向量,则A=λI(大学线代)给好评给采纳,I是单位矩阵,有的地方也用E
线性代数特征 假设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量总的基础解系里有n个向量:p1,p2,...,pn.
方阵A有n个特征值,其中两个特征值相等,则它们的特征向量线性相关还是无关