(2013•长春一模)已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/29 07:37:45
(2013•长春一模)已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,求实数a的值;
(2)当a>0时,求函数f(|sinx|)的最小值.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,求实数a的值;
(2)当a>0时,求函数f(|sinx|)的最小值.
由题意得:f'(x)=(ex)'•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)'
=ex(ax2−2x−2)+ex(2ax−2)=aex(x−
2
a)(x+2);(3分)
(1)由曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,
结合导数的几何意义得f'(2)=0,
即a•e2•(2−
2
a)(2+2)=4ae2•
2a−2
a=0,
解得a=1;(6分)
(2)设|sinx|=t(0≤t≤1),
则只需求当a>0时,函数y=f(t)(0≤t≤1)的最小值.
令f'(x)=0,解得x=
2
a或x=-2,而a>0,即
2
a>−2.
从而函数f(x)在(-∞,-2)和(
2
a,+∞)上单调递增,在(−2,
2
a)上单调递减.
当
2
a≥1时,即0<a≤2时,函数f(x)在[0,1]上为减函数,ymin=f(1)=(a-4)e;
当0<
2
a<1,即 a>2时,函数f(x)的极小值,
即为其在区间[0,1]上的最小值,ymin=f(
2
a)=−2e
2
a.
综上可知,当0<a≤2时,函数f(|sinx|)的最小值为(a-4)e;
当a>2时,函数f(|sinx|)的最小值为−2e
2
a.(12分)
=ex(ax2−2x−2)+ex(2ax−2)=aex(x−
2
a)(x+2);(3分)
(1)由曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,
结合导数的几何意义得f'(2)=0,
即a•e2•(2−
2
a)(2+2)=4ae2•
2a−2
a=0,
解得a=1;(6分)
(2)设|sinx|=t(0≤t≤1),
则只需求当a>0时,函数y=f(t)(0≤t≤1)的最小值.
令f'(x)=0,解得x=
2
a或x=-2,而a>0,即
2
a>−2.
从而函数f(x)在(-∞,-2)和(
2
a,+∞)上单调递增,在(−2,
2
a)上单调递减.
当
2
a≥1时,即0<a≤2时,函数f(x)在[0,1]上为减函数,ymin=f(1)=(a-4)e;
当0<
2
a<1,即 a>2时,函数f(x)的极小值,
即为其在区间[0,1]上的最小值,ymin=f(
2
a)=−2e
2
a.
综上可知,当0<a≤2时,函数f(|sinx|)的最小值为(a-4)e;
当a>2时,函数f(|sinx|)的最小值为−2e
2
a.(12分)
(2013•长春一模)已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
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