已知x,y∈R且x>0,y>0,√2是2^x与4^y的等比中项,(1)当x取何值时xy取最大值?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 03:05:22

已知x,y∈R且x>0,y>0,√2是2^x与4^y的等比中项,(1)当x取何值时xy取最大值?
已知x,y∈R且x>0,y>0,√2是2^x与4^y的等比中项,(1)当x取何值时xy取得最大值?最大值为多少?
（2）当x,y分别取何值时（1/x）+（8/x）取得最小值?最小值为多少?

已知x,y∈R且x>0,y>0,√2是2^x与4^y的等比中项,则有：
2^x·4^y=(√2)²
2^(x+2y)=2
解得：x+2y=1
（1）由均值定理：√(x·2y)≤(x+2y)/2=1/2（当且仅当x=2y=1/2时取等号）
那么：x·2y≤1/4,即：xy≤1/8
所以当x=1/2,y=1/4时,xy有最大值为1/8；
（2）（1/x）+（8/x）?
应该是（1/x）+（8/y）吧!如果是,解题如下：
由上已得：x+2y=1且x>0,y>0,那么：
（1/x）+（8/y）
=(x+2y)/x +8(x+2y)/y
=1+(2y/x) + (8x/y)+16
=17+(2y/x) + (8x/y)
由均值定理有：(2y/x) + (8x/y)≥2√[(2y/x)·(8x/y)]=8
（当且仅当2y/x=8x/y即y=2x时取等号）
所以当y=2x时,（1/x）+（8/y）取得最小值8.
再问：均值定理？我们没学过怎么办？？
再答：请问你读几年级哈？
再问：高二啊还没学过均值定理，不过我刚才查了查公式不是x+y≥2√xy吗，请问你在解第一问时怎么得到的√(x·2y)≤(x+2y)/2=1/2呢？
再答：把2y整体看成公式中的y即可！

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