搜搜考试网已知xi∈R+,i=1,2,…,n 求证不等式n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/10 15:24:44
已知xi∈R+,i=1,2,…,n 求证不等式n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/(nxn+x1)
已知xi∈R+,i=1,2,…,n
求证不等式 n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/(nxn+x1)
等号当且仅当x1=x2=…=xn时取得
这个题是好像是可以通过适当的构造，然后可以用均值不等式证明的
希望各位大侠给的证明可以清晰明快啦……
已知xi∈R+,i=1,2,…,n
求证不等式 n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/(nxn+x1)
等号当且仅当x1=x2=…=xn时取得
这个题是好像是可以通过适当的构造，然后可以用均值不等式证明的
希望各位大侠给的证明可以清晰明快啦……
我看不懂2楼的答案,下面是我的解答(看图片）.并附上latex代码.
设$a_1=\frac{x_2}{x_1},a_2=\frac{x_3}{x_2},\cdots,a_2=\frac{x_1}{x_n}$,则我们有$a_1a_2\cdots a_n=1$,我们要证明的是:$\frac{1}{n+a_1}+\frac{1}{n+a_2}+\cdots+\frac{1}{n+a_n}\le \frac{n}{n+1}$ (1)
而由Cauchy不等式得到:
\[(n+a_1)(\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) = (n-1+a_1+1)(\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) \ge \left(\frac{n+1}{n}\right)^2\]
所以我们有：
\[\frac{1}{n+a_1} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) \]
同理我们有,
\[\frac{1}{n+a_2} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_2}+\frac{1}{n^2}) \]
$\cdots$
\[\frac{1}{n+a_n} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_n}+\frac{1}{n^2}) \]
因此为证明不等式(1)成立我们只需证明:$\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n-1+a_2}+\cdots+\frac{1}{n-1+a_n}\le 1$(2)
而(2)等价于$\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+\cdots+\frac{a_n}{n-1+a_n}\ge 1$(3)
而(3)式可由局部不等式
$\frac{a_1}{n-1+a_1} \ge \frac{a_1^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$(4)
其中$k=\frac{n-1}{n}$,(4)式的证明是由于$(4) \iff a_1(a_2^k+\cdots+a_n^k) \ge (n-1)a_1^k$而最后一式有平均值不等式可得到.
同理
$\frac{a_1}{n-1+a_1} \ge \frac{a_2^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$
$\cdots$
$\frac{a_n}{n-1+a_1} \ge \frac{a_n^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$
把以上各式相加便得到了(3)从而证明了原命题.
设$a_1=\frac{x_2}{x_1},a_2=\frac{x_3}{x_2},\cdots,a_2=\frac{x_1}{x_n}$,则我们有$a_1a_2\cdots a_n=1$,我们要证明的是:$\frac{1}{n+a_1}+\frac{1}{n+a_2}+\cdots+\frac{1}{n+a_n}\le \frac{n}{n+1}$ (1)
而由Cauchy不等式得到:
\[(n+a_1)(\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) = (n-1+a_1+1)(\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) \ge \left(\frac{n+1}{n}\right)^2\]
所以我们有：
\[\frac{1}{n+a_1} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n^2}) \]
同理我们有,
\[\frac{1}{n+a_2} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_2}+\frac{1}{n^2}) \]
$\cdots$
\[\frac{1}{n+a_n} \le \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 (\frac{1}{n-1+a_n}+\frac{1}{n^2}) \]
因此为证明不等式(1)成立我们只需证明:$\frac{1}{n-1+a_1}+\frac{1}{n-1+a_2}+\cdots+\frac{1}{n-1+a_n}\le 1$(2)
而(2)等价于$\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+\cdots+\frac{a_n}{n-1+a_n}\ge 1$(3)
而(3)式可由局部不等式
$\frac{a_1}{n-1+a_1} \ge \frac{a_1^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$(4)
其中$k=\frac{n-1}{n}$,(4)式的证明是由于$(4) \iff a_1(a_2^k+\cdots+a_n^k) \ge (n-1)a_1^k$而最后一式有平均值不等式可得到.
同理
$\frac{a_1}{n-1+a_1} \ge \frac{a_2^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$
$\cdots$
$\frac{a_n}{n-1+a_1} \ge \frac{a_n^k}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$
把以上各式相加便得到了(3)从而证明了原命题.
已知xi∈R+,i=1,2,…,n 求证不等式n/(n+1)≥x1/(nx1+x2)+x2/(nx2+x3)+…+xn/
设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn
已知正实数xi：x1*x2*x3*x4*...*xn=1.求证：[1/(n-1+x1)]+[1/(n-1+x2)]+..
·若xi∈R+(i=1,2,……,n),且x1·x2·……·xn=1,试用数学归纳法证明：x1+x2+……+xn>n
已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+
用数学归纳法证明：xi>0 ,i=1,2,3…n若x1x2…xn=1,则x1+x2+…xn≥n
X1·X2·X3·…·Xn=1,且X1,X2,…,Xn都是正数,求证(1+X1)(1+X2)…(1+Xn)>=2的n次
设x1,x2,……,xn是正数,求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2用柯西
已知X1+X2+X3+X4+……+Xn,求证X1方加X2方加X3方一直加到Xn方≥n分之一.
设x1.x2,.xn是正数,求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2关于柯西不
已知xi∈R,x1+x2+……+xi=0, |x1|+|x2|+...+|xi|=1,求证x1/1+x2/2+…+xi/
设随机变量X1,X2,…Xn(n>1)独立同分布,方差λ^2>0,令Y=(1/n)∑(i=1~n)Xi,则( )