搜搜考试网一道同余式证明题,证两个结论 2^1092≡1 （mod 1093^2） 3^1092≠1 （mod 1093^2）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 18:15:31
一道同余式证明题,证两个结论 2^1092≡1 （mod 1093^2） 3^1092≠1 （mod 1093^2）
这道题里用到了Wieferich素数的知识.
所谓Wieferich素数,就是满足p^2|(2^(p-1)-1)的素数,现在已知的有1093和3511,而下一个这样的素数非常非常大.
只能用计算来验证,当年找到它的方法也是用暴力计算得到的.
我找了一个相对比较简单的方法：
首先有 3^7=2187=2p+1,3^14=(2p+1)^2≡4p+1 (mod p^2) 这里p=1093
然后有 2^14=16384=15p-11,2^28≡-330p+121 (mod p^2)
3^2×2^28≡-2970p+1089=-2969p-4≡-1878p-4 (mod p^2)
接着有 3^2×2^26≡-469p-1 (mod p^2)
再跟据二项定理有 3^14×2^182≡-(469+1)^7≡-3283p-1≡-4p-1≡-3^14
所以 2^182≡-1,2^1092≡1 (mod 1093^2)
第一问就证完了.
第二问就好算多了：
3^1092=(3^7)^156=(2p+1)^156≡312p+1 (mod 1093^2)
自然就有3^1092≠1 (mod 1093^2)了.
所谓Wieferich素数,就是满足p^2|(2^(p-1)-1)的素数,现在已知的有1093和3511,而下一个这样的素数非常非常大.
只能用计算来验证,当年找到它的方法也是用暴力计算得到的.
我找了一个相对比较简单的方法：
首先有 3^7=2187=2p+1,3^14=(2p+1)^2≡4p+1 (mod p^2) 这里p=1093
然后有 2^14=16384=15p-11,2^28≡-330p+121 (mod p^2)
3^2×2^28≡-2970p+1089=-2969p-4≡-1878p-4 (mod p^2)
接着有 3^2×2^26≡-469p-1 (mod p^2)
再跟据二项定理有 3^14×2^182≡-(469+1)^7≡-3283p-1≡-4p-1≡-3^14
所以 2^182≡-1,2^1092≡1 (mod 1093^2)
第一问就证完了.
第二问就好算多了：
3^1092=(3^7)^156=(2p+1)^156≡312p+1 (mod 1093^2)
自然就有3^1092≠1 (mod 1093^2)了.
一道同余式证明题,证两个结论 2^1092≡1 （mod 1093^2） 3^1092≠1 （mod 1093^2）
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