搜搜考试网线形代数 设A是n(n>=1)阶矩阵,若r(A)=1,证明A的n个特征值λ1=a11+a22+...+ann,λ2=3=
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/27 20:37:16
线形代数 设A是n(n>=1)阶矩阵,若r(A)=1,证明A的n个特征值λ1=a11+a22+...+ann,λ2=3=...=λn=0.
因为A的秩等于1,所以A的行向量中有一非零行 (记为α,不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数.将这些倍数构成列向量β,β≠0
则有 A=βα^T.
如:A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
取 α=(1,2,3)^T,则 β=(2,1,0)^T,且 A=βα^T.
注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值,β是A的属于这个特征值的特征向量.
再由r(A)=1知,齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的n-1重特征值,即有 λ2=...=λn=0.
所以有 a11+a22+...+ann = λ1+λ2+...+λn = λ1.
再问： "再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量" 这个不是只能说明AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量,也就是说A的应特征值对应有n-1个线形无关的特征向量,为什么由此得"0 是A的n-1重特征值"?为什么n重特征值最多对应n个线形无关的特征向量?
再答： 线性无关特征向量的个数
且其余行都是它的倍数.将这些倍数构成列向量β,β≠0
则有 A=βα^T.
如:A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
取 α=(1,2,3)^T,则 β=(2,1,0)^T,且 A=βα^T.
注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值,β是A的属于这个特征值的特征向量.
再由r(A)=1知,齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的n-1重特征值,即有 λ2=...=λn=0.
所以有 a11+a22+...+ann = λ1+λ2+...+λn = λ1.
再问： "再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量" 这个不是只能说明AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量,也就是说A的应特征值对应有n-1个线形无关的特征向量,为什么由此得"0 是A的n-1重特征值"?为什么n重特征值最多对应n个线形无关的特征向量?
再答： 线性无关特征向量的个数
线形代数 设A是n(n>=1)阶矩阵,若r(A)=1,证明A的n个特征值λ1=a11+a22+...+ann,λ2=3=
设A为3阶矩阵,A的特征值1,2,3,则|A|的代数余子式A11+A22+A33=?
设A是三阶可逆矩阵，A-1的特征值为1，2，3，求|A|的代数余子式之和：A11+A22+A33=___．
关于特征多项式?|λE-A| = λ^n - (a11 + a22 + … + ann)λ^(n-1) + … + (-
设A是3阶矩阵,A^(-1)的特征值是1,2,3,则A11+A22+A33= 要不用特例的那种解法?
设n阶矩阵A的特征值为x1,x2,……xn.证明其和为a11+a22+……+ann
设n阶矩阵A不等于E,如果r（A+E）+r（A-E）=n,证明,-1是A的特征值
设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))
设三阶矩阵A=(aij的特征值为1,2,3,Aij为aij的代数余子式,求A11+A22+A33
1.用数学归纳法求矩阵：【000 100 010】2.证明矩阵乘法分配率 3设A=n阶方阵[aij]=a11+a22+.
设n阶矩阵A满足A的2次方=E,证明A的特征值只能是正负1
1、设A是3阶矩阵,且det（A）=0,A11=1,A22=2,A33=-4,则A*的特征值是 2、设A,B都是3阶实可