设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 04:29:37
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1
求方程4sinx=f(x)的根的个数.
求方程4sinx=f(x)的根的个数.
![设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,](/uploads/image/z/2520205-61-5.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E6%98%AF%280%2C%2B%E2%88%9E%29%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0m%2Cn%E6%81%92%E6%9C%89f%28mn%29%3Df%28m%29%2Bf%28n%29%2C%E4%B8%94%E5%BD%93x%EF%BC%9E1%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3E0%2C)
(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
令$m=2,n=\frac{1}{2}$,则$f(1)=f(2×\frac{1}{2})=f(2)+f(\frac{1}{2})$,
∴$f(\frac{1}{2})=f(1)-f(2)=-1$(4分)
(2)设0<x1<x2,则$\frac{x_2}{x_1}>1$
∵当x>1时,f(x)>0
∴$f(\frac{x_2}{x_1})>0$(6分)
$f({x_2})=f({x_1}×\frac{x_2}{x_1})=f({x_1})+f(\frac{x_2}{x_1})>f({x_1})$(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵y=4sinx的图象如右图所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4
由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的图象大致形状如右图所示,
由图象在[0,2π]内有1个交点,
在(2π,4π]内有2个交点,
在(4π,5π]内有2个交点,又5π<16<6π,
后面y=f(x)的图象均在y=4sinx图象的上方.
故方程4sinx=f(x)的根的个数为5个(16分)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/eb/5eb309a1521a18ab301e64c679955936.jpg)
∴f(1)=0(2分)
令$m=2,n=\frac{1}{2}$,则$f(1)=f(2×\frac{1}{2})=f(2)+f(\frac{1}{2})$,
∴$f(\frac{1}{2})=f(1)-f(2)=-1$(4分)
(2)设0<x1<x2,则$\frac{x_2}{x_1}>1$
∵当x>1时,f(x)>0
∴$f(\frac{x_2}{x_1})>0$(6分)
$f({x_2})=f({x_1}×\frac{x_2}{x_1})=f({x_1})+f(\frac{x_2}{x_1})>f({x_1})$(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵y=4sinx的图象如右图所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4
由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的图象大致形状如右图所示,
由图象在[0,2π]内有1个交点,
在(2π,4π]内有2个交点,
在(4π,5π]内有2个交点,又5π<16<6π,
后面y=f(x)的图象均在y=4sinx图象的上方.
故方程4sinx=f(x)的根的个数为5个(16分)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/eb/5eb309a1521a18ab301e64c679955936.jpg)
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0,
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(m/n)=f(m)-f(n),且当x>1时,f(x)1
设函数f(x)的定义域是(0,正无穷)对于任意的正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)
设函数的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有恒有f(m+n)=f(m)×f(n),且x>0时
设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n).且当x>0时,f(x)>1.
函数f x 的定义域为R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0
设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)*f(n),且x>0时,0
设f(x)是定义在R上的函数,对mn(属于R)恒有f(m+n)=f(m).f(n)且当x>0时,0<f(x)<1,f(0