（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/05 08:28:21

（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（2）若函数f(x)−ax+m＝0在[

，e]

（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
f′(x)＝
2
x−2x+2，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f'（1）=2，
则切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，则g′(x)＝
2
x−2x＝
−2(x+1)(x−1)
x，
因为x∈[
1
e，e]，故g'（x）=0时，x=1．
当
1
e＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1，（4分）
又g(
1
e)＝m−2−
1
e2，g（e）=m+2-e²，
g(e)−g(
1
e)＝4−e2+
1
e2＜0，则g(e)＜g(
1
e)，
故函数g（x）在[
1
e，e]上的最小值是g（e）．（6分）
方程f（x）-ax+m=0在[
1
e，e]上有两个不相等的实数根，则有

g(1)＝m−1＞0
g(
1
e)＝m−2−
1
e2≤0
解得1＜m≤2+
1
e2，故实数m的取值范围是(1，2+
1
e2]．（8分）
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，
则

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